任何人类活动都离不开能量。例如，现代化的生活离不开电厂供应的电能，许多现代交通离不开燃料燃烧释放的化学能，核电站能够利用原子核裂变时释放的核能，人类生活需要摄入食物中的化学能，植物的生长依赖太阳能……
在长期的科学实践中，人们发现不同形式的能量可以互相转化，并且能量的转化与功的概念紧密相连。这是因为，如果在一个过程中存在做功的现象，就必然存在能量变化的现象，功的计算能够为能量的定量表达及能量的变化提供分析的基础。
▶▶▶物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律的最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅是合理的，而且也是极为重要的研究方向。
——劳厄①
8.1功与功率
起重机竖直提升重物时，重物运动的方向与力的方向一致，则力对物体做的功为力的大小与重物移动距离的乘积。更普遍的情形是物体运动的方向与力的方向不一致，例如马拉雪橇时拉力方向和雪橇运动方向间有一个角度。这时应当怎样计算功呢？
功
当力F 的方向与运动方向成某一角度时（图 8.1-1），可以把力F 分解为两个分力：与位移方向一致的分力 Fl，与位移方向垂直的分力F2。设物体在力F 的作用下发生的位移的大小是 l，则分力Fl所做的功等于 Fll。分力 F2的方向与位移的方向垂直，物体在 F2的方向上没有发生位移，F2所做的功等于0 。因此，力F 对物体所做的功W 等于Fll，而 Fl＝ Fcos α，所以
这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳（joule），简称焦，符号是 J。 1 J 等于 1 N 的力使物体在力的方向上发生 1 m 位移的过程中所做的功，所以
1 J ＝ 1 N×1 m ＝ 1 N·m
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① 劳厄（Max Von Laue， 1879—1960），德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。
正功和负功
下面我们讨论力与位移成不同的角度时，力做功的几种情况。
（1）当 α＝
时，cos α＝0，W ＝ 0。这表示力F 的方向与位移 l 的方向垂直时，力F 不做功。例如，物体在水平桌面上运动，重力G 和支持力FN都与位移方向垂直，这两个力都不做功（图 8.1-2 甲）。
（2）当 0 ≤ α < 时，cos α > 0，W > 0。这表示力F对物体做正功。例如，人用力拉车前进时，人的拉力F 对车做正功（图 8.1-2 乙）。
（3） < α≤ π 时，cos α < 0 ，W < 0。 这表示力F对物体做负功。例如，要使运动的小车减速，人向后拉车的力F 对车做负功（图 8.1-2 丙）。
上面我们分析的是物体受一个力时做功的几种情况。实际中，物体通常会受多个力的作用。当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。
【例题 1】
一个质量为 150 kg 的雪橇，受到与水平方向成 37°角斜向上方的拉力，大小为500 N，在水平地面上移动的距离为 5 m。地面对雪橇的阻力为 100 N， cos 37°＝ 0.8。求各力对雪橇做的总功。
分析 雪橇的运动方向及有关受力情况如图 8.1-3 所示。
拉力 F 可以分解为水平方向和竖直方向的两个分力，竖直方向的分力 Fy、支持力 FN和重力 G 与运动方向垂直，不做功。所以各力对雪橇做的总功为拉力的水平分力 Fx和阻力F阻所做的功的代数和。
解 拉力在水平方向的分力为 Fx＝ Fcos 37°，它所做的功为
W1＝Fxl＝Flcos37°＝ 500×5×0.8 J ＝ 2 000 J
阻力与运动方向相反，两者夹角为 180°，它所做的功为
W2＝F阻lcos180°＝－100×5J＝－500J
力对物体所做的总功为二者的代数和，即
W ＝ W1＋W2＝2000J－500J＝1500J
力对雪橇所做的总功是 1 500 J。
功率
在物理学中，做功的快慢用功率表示。如果从开始计时到时刻 t这段时间内，力做的功为 W ，则功 W 与完成这些功所用时间 t 之比叫作功率（power）。用 P 表示功率，则有
在国际单位制中，功率的单位是瓦特（watt），简称瓦，符号是 W。1 W ＝ 1 J/s。瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（kW）作功率的单位，1 kW ＝ 1 000 W。力、位移、时间都与功率相联系，这种联系在技术上具有重要意义。
如果物体沿位移方向受的力是F，从计时开始到时刻 t 这段时间内，发生的位移是 l，则力在这段时间内所做的功
W ＝ Fl
因此，有
由于位移 l 是从开始计时到时刻 t 这段时间内发生的，所以
是物体在这段时间内的平均速度 v，于是上式可以写成
P ＝ Fv
可见，一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。
从以上推导过程来看，P ＝ Fv 中的速度 v 是物体在恒力 F 作用下的平均速度，所以这里的功率 P 是指从计时开始到时刻 t 的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。
从 P ＝ Fv 可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率 P 一定时，牵引力 F 与速度 v 成反比。你认为应该怎样增大它们的牵引力呢？
发动机输出的功率不能无限制地增大，所以汽车上坡时司机要用“换挡”① 的办法减小速度，来得到较大的牵引力（图 8.1-4）。
不过，在发动机输出功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的。所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率，这就是高速火车、汽车和大型舰船需要大功率发动机的原因。
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① 汽车发动机的动力通过变速箱中的齿轮传递到车轮上，转速比可以通过变速杆来改变，称为“换挡”。在平直公路上，汽车受到的阻力较小，这时就可以使用较高转速比的挡位，在发动机功率相同的情况下使汽车获得较高的速度。
【例题2】
发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为 60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是 1 800 N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为 54 km/h 时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
分析 实际功率不一定总等于额定功率，大多数情况下输出的实际功率都比额定功率小，但在需要时，短时间也可以输出更大的功率。题目中说“受到的阻力不变”，表明本题对于较低速度行驶时发动机的输出功率只要求估算。
▶汽车速度越大时，空气的阻力也越大。
解 汽车在水平路面上匀速行驶时，受到的牵引力
F ＝ F阻＝ 1 800 N
由于 P ＝ Fv，所以额定功率下的速度
当汽车以速度 v ＝ 54 km/h ＝ 15 m/s 行驶时，有
P ＝ Fv ＝ 1 800×15 W ＝ 27 kW
汽车以额定功率匀速行驶时的速度为 120 km/h。汽车以 54 km/h 的速度行驶时，发动机输出的实际功率为 27 kW。
1. 图 8.1-5 表示物体在力 F 的作用下水平发生了一段位移 l，分别计算这三种情形下力 F对物体做的功。设这三种情形下力 F 和位移 l的大小都是一样的：F ＝ 10 N，l ＝ 2 m。角q的大小如图所示。
2. 用起重机把质量为 2.0 × 103kg 的物体匀速地提高了 5 m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？这些力做的总功是多少？
3. 一位质量为 60 kg 的滑雪运动员从高为10 m 的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力为 50 N，斜坡的倾角为 30°，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？这些力做的总功是多少？
4. 有一个力 F，它在不断增大。某人以此为条件，应用 P ＝ Fv 进行了如下推导：
根据 P ＝ Fv，F 增大则 P 增大；又根据
P 增大则 v 增大；再根据v 增大则 F 减小。
这个人推导的结果与已知条件相矛盾。他错在哪里？
5. 一台电动机工作时的输出功率是 10 kW，要用它匀速提升 2.7 × 104kg 的货物，提升的速度将是多大？
6. 一台抽水机每秒能把 30 kg 的水抽到10 m 高的水塔上，这台抽水机输出的功率至少多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？
7. 质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，阻力 F 保持不变。当它以速度 v、加速度 a 加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率， 从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。
（1）汽车的加速度和速度将如何变化？说出理由。
（2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？
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