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3.2波的描述

波的描述
观察水波,可以看出波在空间、时间上具有周期性,我们能否用图像的方法来描述一列波呢?如果能,坐标轴表示的是什么物理量?
过去我们研究的是单个质点的运动情况,用 x-t图像可以很方便地描述质点在任意时刻的位移。而波却是很多质点的运动,在同一时刻各个质点的位移都不尽相同,不方便用 x-t 图像来描述。能否用其他的图像来描述波呢?我们以横波为例研究波的图像。
波的图像
图 3.2-1 绳上的横波
图 3.2-1 是根据一张绳上横波的照片画出的图,记录了绳上各质点在该时刻的具体位置。如果建立直角坐标系,把该时刻绳上各质点的具体位置反映在坐标系中,就可以得到这一时刻绳子上波的图像。
图 3.2-2 横波的图像
在图 3.2-2 中,用横坐标 x 表示在波的传播方向上绳中各质点的平衡位置,纵坐标 y 表示某一时刻绳中各质点偏离平衡位置的位移。我们规定,位移向上时 y 取正值,向下时 y 取负值。
把平衡时位于x1, x2, x3,… 的质点的位移y1,y2,y3,…画在Oxy 坐标平面内,得到一系列坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),… 的点,这些点的集合就是这一时刻波的图像。波的图像有时也称波形图。
如果波的图像是正弦曲线,这样的波叫作正弦波,也叫简谐波(simple harmonic wave)。可以证明,介质中有正弦波传播时,介质的质点在做简谐运动。
简谐波的波形图与质点的振动图像都是正弦曲线,但它们的意义是不同的。波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移,振动图像则表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移。
▶我们可以形象地说:波 的 图 像 是“照相式”的,而振动图像是“录像式”的。

波长、频率和波速

在上节图 3.1-2 中,从 t = 0 到 t = T 这段时间里,由质点 P0 发出的振动传到质点 P8,使质点 P8 开始振动。这时质点 P0恰好结束了一次全振动而开始下一次全振动,此后质点 P0和质点 P8 的振动步调完全一致。也就是说,这两个质点振动的相位相同,它们在任何时刻对平衡位置的位移的大小和方向总是相同的。同样,质点 P1 和 P9、P2 和P10……它们每一对在振动中的相位也总是相同的。在波的传播方向上,振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离,叫作波长(wave length),通常用 λ 表示(图3.2-3)。
在横波中,两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中,两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
在波动中,各个质点的振动周期或频率是相同的,它们都等于波源的振动周期或频率,这个周期或频率也叫作波的周期或频率。在图 3.1-2 中,由质点 P0发出的振动,经过一个周期传到质点 P8,也就是说,经过一个周期 T,振动在介质中传播的距离等于一个波长 λ,所以机械波在介质中传播的速度为
v=λ/T
f=1/T,所以上式也可以写成
v = f λ
机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定,在不同的介质中,波速是不同的。声速还与温度有关,表中列出了 0 ℃时声波在几种介质中的传播速度。
0 ℃时几种介质中的声速 v/(m·s-1)
思考与讨论
图3.2- 4中实线为t=0时刻的波形图,虚线为t=0.1 s时刻的波形图。据此能否判定波的传播方向?

图 3.2-4 不同时刻的波形图
【例题】
 3.2-5 一列正弦波的波形图
图 3.2-5 中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s 后,其波形如图中虚线所示。设该波的周期 T 大于 0.5 s。
(1)如果波是向左传播的,波的速度是多大?波的周期是多大?
(2)如果波是向右传播的,波的速度是多大?波的周期是多大?
分析 这列波的周期大于 0.5 s,所以经过 0.5 s 的时间,这列波传播的距离不可能大于一个波长 λ。当波向左传播时,图中的波峰 1 只能到达波峰 2,而不可能向左到达更远的波峰。当波向右传播时,图中的波峰 1 只能到达波峰 3,而不可能向右到达更远的波峰。
已知波传播的时间 t = 0.5 s,由图可以知道波的传播距离∆x,由公式 v=△x/t就能够求出波的传播速度 v。
由图又可以知道波长 λ,由公式 v=λ/T就能够求出周期 T。
解 (1)如果波是向左传播的,从图 3.2-5 看出,虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了 6 cm( 1/4个波长),由此可求出波速的大小
v=△x/t
波的周期为
T=λ/v
(2)如果波是向右传播的,从图 3.2-5 看出,虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了 18 cm( 43 个波长),由此可以求出波速的大小
v=△x/t
波的周期为
T=λ/v
练习与应用
机械波
1. 图 3.2-6 为一列沿 x 轴正方向传播的简谐波在初始时刻的波形,试画出该简谐波经过极短一段时间后的波形图,并确定初始时刻图中 A、B、C、D 四个质点的振动方向及这段时间内质点速度大小的变化情况。
2.简谐横波某时刻的波形如图3.2-7所示,
简谐横波
P为介质中的一个质点,波沿x轴的正方向传播。
(1)此时刻与1/4T 时刻,质点 P 的速度与加速度的方向各是怎样的?
(2)经过一个周期,质点 P 通过的路程为多少?
(3)有同学说由此时刻起经过1/4T后,质点 P 通过的路程为 A0,你认为这种说法对吗?
简谐横波
3. 图 3.2-8 是一列波的图像。
(1)如果波沿着 x 轴的正方向传播,K、L、M 三个质点,哪一个最先回到平衡位置?
(2)如果波沿着 x 轴的负方向传播,K、L、M 三个质点,哪一个最先回到平衡位置?
4. 一列横波某时刻的波形如图 3.2-9 甲所示,
机械波
图 3.2-9 乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。
(1)若波沿 x 轴的正方向传播,图乙为 K、L、M、N 四点中哪点的振动图像?
(2)若波沿 x 轴的负方向传播,图乙为 K、L、M、N 四点中哪点的振动图像?
5. 在空气中波长为 1 m 的声波,由空气传入水中,声波在水中的频率和波长各是多少?(此时温度为 0 ℃)
6. 湖面上停着 A、B 两条小船,它们相距20 m。一列水波正在湖面上沿 AB 连线的方向传播,每条小船每分钟上下浮动 20 次。当 A船位于波峰时,B 船在波谷,两船之间还有一个波峰。求水波的波速。

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