2.2简谐运动的描述

有些物体的振动可以近似为简谐运动，做简谐运动的物体在一个位置附近不断地重复同样的运动。如何描述简谐运动的这种独特性呢？

我们已经知道，做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，因此，位移x的一般函数表达式可写为

x＝Asin（ωt＋φ）

下面我们根据上述表达式，结合图2.2-1所示情景，分析简谐运动的特点。

振幅

因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说明A是物体离开平衡位置的最大距离。

▶请大家复习高中数学的相关知识。

如图2.2-2，如果用M点和M ′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端最远位置，则∣OM∣＝∣OM′∣＝A，我们把振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅（amplitude）。振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振幅的单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。

周期和频率

在图2.2-2中，如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体总是不断地重复着这样的运动过程，不管以哪里作为开始研究的起点。例如从图中的P₀点开始研究，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期（period）。周期的倒数叫作振动的频率（frequency），数值等于单位时间内完成全振动的次数。用T表示周期，用f表示频率，则有

▶描述任何周期性过程都要用到周期和频率这两个概念。实际上，它们的应用范围已经扩展到物理学以外的领域了。

在国际单位制中，周期的单位是秒。频率的单位是赫兹（hertz），简称赫，符号是Hz。1 Hz＝1 s^-1。

周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。

根据正弦函数规律，（ωt＋φ）在每增加2π的过程中，函数值循环变化一次。这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期T。
于是有 [ω（t＋T）＋φ] －（ωt＋φ）＝2π

由此解出

根据周期与频率间的关系，则

ω＝2π f

可见，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。

测量小球振动的周期

如图 2.2-3，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。用停表测出钢球完成 n 个全振动所用的时间 t， t/n

就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。

再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。

通过这个实验你会发现，弹簧振子的振动周期与其振幅无关。不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期均与其振幅无关。

相位

从x＝A sin（ωt＋φ）可以发现，当（ωt＋φ）确定时，sin（ωt＋φ）的值也就确定了，所以（ωt＋φ）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把（ωt＋φ）叫作相位（phase）。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。

实际上，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差（phase difference）。如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是

Δφ ＝（ωt ＋ φ1）－（ωt ＋ φ2）＝ φ1 － φ2

此时我们常说 1 的相位比 2 超前 Δφ，或者说 2 的相位比 1 落后 Δφ。

观察两个小球的振动情况

并列悬挂两个相同的弹簧振子（图 2.2-4）。

把小球向下拉同样的距离后同时放开，观察两球的振幅、周期、振动的步调。

再次把两个小球拉到相同的位置，先把第一个小球放开，再放开第二个，观察两球的振幅、周期、振动的步调。

通过观察我们会发现，两个小球同时释放时，除了振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。在一个周期内，如果不同时释放小球，它们的步调就不一致。例如，自开始释放，当第一个小球到达平衡位置时再放开第二个，那么当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置；而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后 1/4

个周期，或者说总是滞后 1/4

个全振动。

上例中同时放开的两个小球振动步调总是一致，我们说它们的相位是相同的；而对于不同时放开的两个小球，我们说第二个小球的相位落后于第一个小球的相位。

根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ₀，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是

所以，振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。

【例题】

如图 2.2-5，弹簧振子的平衡位置为 O 点，在 B、C两点之间做简谐运动。B、C 相距 20 cm。小球经过 B 点时开始计时，经过 0.5 s 首次到达 C 点。

（1）画出小球在第一个周期内的 x-t 图像。

（2）求 5 s 内小球通过的路程及 5 s 末小球的位移。

分析根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的 x-t 图像。
要得到简谐运动的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确定初相位。根据振幅、周期及初相位写出位移与时间的函数关系，画出图像。
我们也可以采用描点法来画出位移－时间图像。根据题意，可以确定计时起点的位移、通过平衡位置及最大位移处的时刻，在 x-t 图上描出这些特殊坐标点，根据正弦图像规律画出图像。
根据简谐运动的周期性，在一个周期内，小球的位移为 0，通过的路程为振幅的4 倍。据此，可以求出 5 s 内小球通过的路程及 5 s 末小球的位移。

解（1）以 O 点作为坐标原点，沿 OB 建立坐标轴，如图 2.2-5。以小球从 B 点开始运动的时刻作为计时起点，用正弦函数来表示小球的位移－时间关系，则函数的初相位为 π/2

。

由于小球从最右端的B点运动到最左端的C点所用时间为0.5 s，所以振动的周期T＝1.0 s；由于B点和C点之间的距离为0.2 m，所以，振动的振幅 A＝0.1 m。根据简谐振动

，可得小球的位移－时间关系为

据此，可以画出小球在第一个周期内的位移－时间图像，如图 2.2-6 所示。

（2）由于振动的周期 T ＝ 1 s，所以在时间t ＝ 5 s 内，小球一共做了n ＝ t/T

＝ 5 次全振动。小球在一次全振动中通过的路程为 4 A ＝ 0.4 m，所以小球运动的路程为 s ＝ 5×0.4 m ＝ 2 m ；经过 5 次全振动后，小球正好回到 B 点，所以小球的位移为 0.1 m。

用计算机呈现声音的振动图像

绝大多数计算机都有录音、放音的功能，并能在放音时显示声振动的图像。

用计算机的录音功能录制两个乐音，例如笛声，一个是 do，另一个是 sol，把它们保存起来。用媒体播放软件显示这个声音，把播放软件界面中“条形与波浪”的选项设为“波形”。这样可以从电脑屏幕上看到播放声音时的振动图像。按下“暂停”键得到静止的图像。

把 do 和 sol 这两个声音的振动图像复制到同一张空白幻灯片上，并把图像以外多余的区域裁掉，就得到图 2.2-7 所示的图形。

在屏幕上作出矩形框，调节框的宽度，使框内包含“do”的 10 个周期。在屏幕上观察，多少个“sol”的周期与“do”的 10 个周期的时间相等，由此可以得到“sol”和“do”的频率之比。如果已知其中一个声音的频率，还可以推知另一个声音的频率。
请你想办法完成上面的操作。

乐音和音阶

在音乐理论中，把一组音按音调高低的次序排列起来就成为音阶，也就是大家都知道的do，re，mi，fa，sol，la，si，do（高）。下表列出了某乐律C调音阶中各音的频率。

有趣的是，高音do的频率正好是中音do的2倍，而且音阶中各音的频率与do的频率之比都是整数之比。

还有更有趣的事情。喜欢音乐的同学都知道，有些音一起演奏时听起来好听，有些音一起演奏时听起来不好听，前者叫作谐和音，后者叫作不谐和音。著名的大三和弦do、mi、sol的频率比是4:5:6，而小三和弦re、fa、la的频率比是10:12:15。大三和弦听起来更为和谐，那是因为三个音的频率比是更小的整数之比。随便拼凑在一起的三个音听起来不和谐，有兴趣的同学可以算一算它们的频率比，一定是三个比较大的整数。

从这个例子可以看到艺术后面的科学道理，但是，艺术远比“1＋1＝2”复杂。从上表中看出，频率增加一倍，音程高出8度。实际上这只对于中等音高是正确的。人的感觉十分复杂，对于高音段来说，频率要增加一倍多，听起来音高才高出一个8度。如果一个调音师按照“频率翻倍”的办法调钢琴，那就要出问题了。

尽管如此，科学家们还是可以通过音乐家的实际测听，确定音高与频率的对应关系，并且据此设计出优美动听的电子乐器。