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8.4机械能守恒定律

机械能守恒定律
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现:无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些,小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0,这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
在小球的运动过程中,有哪些物理量是变化的?哪些是不变的?你能找出不变的量吗?
追寻守恒量
能量对于科学研究和日常生活有着巨大的影响,但要用一句话说清楚能量究竟是什么却非易事。这也许是牛顿未能把“能量”这一概念留给我们的原因之一。但是在牛顿之前,我们就已经能在力学领域发现它的萌芽。
如果不采用能量的概念,我们也可以利用以前的语言来描述伽利略的斜面实验。我们可以说,为了把小球从桌面提高到斜面上的某个位置,伽利略施加了与重力相反的力 ;当他释放小球时,重力使小球滚下斜面 A ;在斜面的底部,小球由于惯性而滚上斜面 B。
但是,这样的描述不能直接表达一个最重要的事实 :如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略,小球必将准确地终止于它开始运动时的高度,不会更高一点,也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。
其实,伽利略已经走到了机械能守恒的大门口,只是当时还没有“能量”的概念,因此,伽利略没有得出机械能守恒的结论。
能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要事例。
▶科学概念的力量在于它具有解释和概括一大类自然现象的能力。在这方面能量概念的作用十分突出。

动能与势能的相互转化

物体沿光滑斜面滑下时,重力对物体做正功,物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了?
我们发现,在这个过程中,物体的速度增加了,表示物体的动能增加了。这说明,物体原来的重力势能转化成了动能。
具有一定速度的物体,由于惯性沿光滑斜面上升,这时重力对物体做负功,物体的速度减小,表示物体的动能减少了。但由于物体的高度增加,它的重力势能增加了。这说明,物体的动能转化成了重力势能。
竖直向上抛出一个物体,随着物体高度的增加,它的速度会减小 ;当物体到达最高点后会转而下降,同时速度逐渐增大。这一过程同样可以从动能和重力势能相互转化的角度来分析。
不仅重力势能可以与动能相互转化,弹性势能也可以与动能相互转化。例如,被压缩的弹簧具有弹性势能,当弹簧恢复原来形状时,就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中,弹力做正功,弹簧的弹性势能减少,而物体得到一定的速度,动能增加。再如,运动员从跳板上弹起的过程中,跳板的弹性势能转化为运动员的动能(图 8.4-1),也是这样一种过程。
机械能守恒
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式,统称为机械能(mechanical energy)。通过重力或弹力做功,机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
思考与讨论
一个小球在真空中做自由落体运动,另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落(图 8.4-2)。
机械能守恒
它们都由高度为 h1的地方下落到高度为 h2的地方。在这两种情况下,重力做的功相等吗?重力势能的变化相等吗?动能的变化相等吗?重力势能各转化成什么形式的能?

机械能守恒定律

动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系?
这里以动能与重力势能的相互转化为例,讨论这个问题。我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下,物体受到重力和曲面支持力的作用,因为支持力方向与运动方向垂直,支持力不做功,所以,只有重力做功。
图 8.4-3 物体沿光滑曲面滑下
在图 8.4-3 中,物体在某一时刻处在高度为 h1的位置A,这时它的速度是v1。经过一段时间后,物体下落到高度为 h2的另一位置 B,这时它的速度是 v2。用 W 表示这一过程中重力做的功。从动能定理知道,重力对物体做的功等于物体动能的增加,即
W =1/2mv221/2mv12
另一方面,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少,即
W = mgh1- mgh2
从以上两式可得
mgh1- mgh21/2mv22 -1/2mv12
这就是说,重力做了多少功,就有多少重力势能转化为动能。把上式移项后得到
1/2mv22 + mgh2 =1/2mv12 + mgh1
等式左边为物体末状态动能与势能之和,等式右边为物体初状态动能与势能之和。
可见,在只有重力做功的系统内,动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。
思考与讨论
图 8.4-3 物体沿光滑曲面滑下
在图 8.4-3 中,如果物体从位置 B 沿光滑曲面上升到位置 A,重力做负功。这种情况下上式的关系是否还成立?
同样可以证明,在只有弹力做功的系统内,动能和弹性势能互相转化时总的机械能也保持不变。在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。这叫作机械能守恒定律(law ofconservation of mechanical energy)。它是力学中的一条重要定律,是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式。
机械能守恒
如图 8.4-4,滑雪者沿斜面下滑时,斜面的支持力与运动方向垂直,不做功 ;如果阻力做的功较少,可以忽略,则只有重力做功。此种情况下,动能与重力势能可以互相转化,总的机械能守恒。如果阻力做的功较大,不能忽略,则机械能不守恒。
【例题】
把一个小球用细线悬挂起来,就成为一个摆(图 8.4-5),摆长为 l,最大偏角为 θ。
单摆
如果阻力可以忽略,小球运动到最低点时的速度大小是多少?
分析 在阻力可以忽略的情况下,小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直,不做功,所以这个过程中只有重力做功,机械能守恒。小球在最高点只有重力势能,动能为 0,计算小球在最高点和最低点重力势能的差值,根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能,从而算出它在最低点的速度。
解 以小球为研究对象。设最低点的重力势能为 0,以小球在最高点的状态作为初状态,以小球在最低点的状态作为末状态。
在最高点的动能 Ek1 = 0,重力势能是
Ep1= mg(l - l cos θ)
在最低点的重力势能 Ep2 = 0,而动能可以表示为
Ek21/2mv2 
运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒,即
Ek2+ Ep2=Ek1+Ep1
把初末状态下动能、重力势能的表达式代入,得
1/2mv2 = mg( l - l cos θ )
由此解出小球运动到最低点时的速度大小
从得到的表达式可以看出,初状态的 θ 角越大,cos θ越小,(1 - cos θ )就越大,v 也就越大。也就是说,最初把小球拉得越高,它到达最低点时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。
从这个例题可以看出,如果研究对象在某一过程中满足机械能守恒的条件,应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态,不必考虑两个状态间过程的细节,这样就简化了计算。如果直接用牛顿定律解决问题,需要分析过程中各种力的作用,而这些力又往往在变化着。因此,一些难于用牛顿定律解决的问题,应用机械能守恒定律则有可能易于解决。
守恒定律不仅给处理问题带来方便,而且有更深刻的意义。物理世界是千变万化的,但是,人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的,可以用这些“守恒量”来表示物理世界变化的规律,这就是守恒定律。机械能守恒定律就是其中一个。正因为自然界存在着“守恒量”,而且,某些守恒定律的适用范围很广,所以,在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理学研究的一种重要思想方法。能量是人们研究物质
▶世界非常重要的一个物理量,是物质运动的统一量度。物体运动虽然形式各异,但是每种运动都具有相应的能量。能量及其转化将各种运动统一、联系起来。
练习与应用
1. 在下面列举的各个实例中(除 A 外都不计空气阻力),哪些过程中机械能是守恒的?说明理由。
A. 跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
B. 抛出的标枪在空中运动
C. 拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D. 在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧,把弹簧压缩后,又被弹回来
机械能守恒
2.如图 8.4-6,质量为 m 的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为 h1的位置 A 时,速度的大小为 v1;当它继续滑下到高度为 h2 的位置 B 时,速度的大小为 v2。在由高度 h1滑到高度 h2的过程中,重力做的功为 W。
(1)根据动能定理列出方程,描述小球在A、B 两点间动能的关系。
(2)根据重力做功与重力势能的关系,把以上方程变形,以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。
斜上抛运动
3.质量为 0.5 kg 的石块从 10 m 高处以 30°角斜向上方抛出(图 8.4-7),初速度 v0的大小为 5 m/s。不计空气阻力,g 取 10m/s²。
(1)石块落地时的速度是多大?请用机械能守恒定律和动能定理分别讨论。
(2)石块落地时速度的大小与下列哪些量有关,与哪些量无关?说明理由。
A.石块的质量
B.石块的初速度
C.石块初速度的仰角
D.石块抛出时的高度
4.一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球 A 和 B,B 球的质量是 A 球的 3 倍。用手托住 B 球,当轻绳刚好被拉紧时,B 球离地面的高度是 h,A 球静止于地面,如图 8.4-8所示。
滑轮
释放 B 球,当 B 球刚落地时,求 A 球的速度大小。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计,重力加速度为 g。
机械能守恒
5. 把质量是 0.2 kg 的小球放在竖立的弹簧上,并把小球往下按至 A 的位置,如图 8.4-9甲所示。迅速松手后,弹簧把小球弹起,小球升至最高位置 C(图乙),途中经过位置 B 时弹簧正好处于自由状态。已知 B、A 的高度差为 0.1 m,C、B 的高度差为 0.2 m,弹簧的质量和空气的阻力均可忽略,g 取 10 m/s²。
(1)分别说出小球由位置 A 至位置 B、由位置 B 至位置 C 时,小球和弹簧的能量转化情况。
(2)小球处于位置 A 时,弹簧的弹性势能是多少?在位置 C 时,小球的动能是多少?
喷泉
6. 图 8.4-10 是某城市广场喷泉喷出水柱的场景。从远处看,喷泉喷出的水柱超过了 40 层楼的高度;靠近看,喷管的直径约为 10 cm。请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大?

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